Soit f la fonction définie par : [tex]f(x)= \frac{1}{(2x+1) \sqrt{x^2+x+1} } [/tex] déterminer [tex] \int\limits f({x}) \, dx [/tex]

[tex](2x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}=2(x+\frac{1}{2})\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}} [/tex]

[tex](2x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}=2(x+\frac{1}{2})\sqrt{\frac{3}{4}(\frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2}))^{2}+1)} [/tex]

[tex](2x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{3}{2}(\frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2}))\sqrt{(\frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2}))^{2}+1 } [/tex]

[tex]y= \frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2}) [/tex]

[tex]dx=\frac{\sqrt{3}}{2}dy [/tex]

[tex]\int\limits^b_a {f(x)}\,dx=\int\limits^\beta_\alpha{\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{y\sqrt{1+y^{2}}}}\,dy [/tex]

[tex]\int\limits^b_a{f(x)}\,dx=-\frac{1}{\sqrt{3}}*[argcosech(y)][/tex]

(argosech est la réciproque de la cosécante hyperbolique que tu notes peut-être
[tex]cosech^{-1} [/tex]

Tu n'avais pas mis les bornes, mais tu sauras finir le calcul.