bonjour j’aurai besoin d’aide pour cet exercice On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = -x² g(x)=x² - 4x + 2 1) On note C, la courbe repré

Bonjour,

On considère les fonctions [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] définies sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par :

• [tex]f(x)=-x^{2}[/tex]
• [tex]g(x)=x^{2} -4x+2[/tex]

On note [tex]C_{f}[/tex] et [tex]C_{g}[/tex] les courbes respectivement de [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex].

1) On note [tex]I[/tex] le point d'intersection des droites.

Si le point appartient aux droites, ses coordonnées vérifient l'équation suivante :

[tex]f(x)=g(x)[/tex]

⇔ [tex]-x^{2} =x^{2} -4x+2[/tex]

⇔ [tex]2x^{2} -4x+2=0[/tex]

Ce polynôme du second degré a pour discriminant :

[tex]\Delta=(-4)^{2}-4\times 2\times 2=0[/tex]

Comme [tex]\Delta=0[/tex], ce polynôme admet une unique racine :

[tex]x_{0}=\dfrac{4 }{4}= 1[/tex]

Ainsi, on a : [tex]I(1;f(1))[/tex] avec [tex]f(1)=-1^{2}=-1[/tex].

D'où [tex]I(1;-1)[/tex]

2) On sait que les tangentes à [tex]C_{f}[/tex] et [tex]C_{g}[/tex], au point d'abscisse 1, ont pour expression :

[tex]y=f'(1)(x-1)+f(1)[/tex] et [tex]y=g'(1)(x-1)+g(1)[/tex]

On détermine alors les dérivées :

• [tex]f'(x)=-2x[/tex]

• [tex]g'(x)=2x-4[/tex]

On calcule :

• [tex]f'(1)=-2\times 1=-2[/tex]
• [tex]g'(1)=2\times 1-4=2-4=-2[/tex]

Et on sait que : [tex]f(1)=g(1)=-1[/tex]

Ainsi, on a, d'une part :

[tex]y=-2(x-1)+(-1)[/tex]

[tex]y=-2x+2-1[/tex]

[tex]y=-2x+1[/tex]

D'autre part :

[tex]y=-2(x-1)+(-1)[/tex]

soit : [tex]y=-2x+1[/tex]

On retrouve bien les mêmes équations de tangente en leur point d'intersection [tex]I[/tex].

En espérant t'avoir aidé.